假设我们正在处理一个非线性问题，比如说

$$A u := L u + G(u) = f$$ 的非线性是多项式类型，即是线性算子，并且 ，或者更一般地说，我们有一个 Fréchet 导数界限，如： 其中D是算子A的 Fréchet 导数。$A$$L$$G(u) = u^k$ $$\big\|A(u) - A(v) -DA(u)(u-v) \big\|\leq C \|A(u) - A(v)\|$$ $D$$A$

我们想使用一些数值方法和迭代求解器来获得这个问题的有限维近似。对于两个网格循环的多重网格，根据Saad 第 13 章所写的书，在我们计算更精细级别的网格尺寸$h$（与粗级别网格尺寸2h ）的残差之前，我们想应用一个预平滑算子\mathcal {S}到更精细级别的初始猜测u^h_0 ：$2h$$\mathcal{S}$$u^h_0$

1. Presmooth: $u^h := \mathcal{S}(A_h,u^h_0,f^h)$
2. 计算残差：$r^h = f^h - A_h u^h$

然后在接下来的几个步骤中，我们可以返回粗网格$2h$以在更精细的级别求解和校正$u^h$。这里$A_h$是算子$A$的有限维线性化矩阵。

现在我的问题是：为非线性多重网格方法选择“好的”预平滑算子的标准是什么？以及如何构造这个 presmooth 算子？有规律可循吗？感谢您是否可以与我分享一些具有与此类问题类似的示例的参考资料。