假设和。那么的充 要条件是两个向量正交，。实际上，这是线性规划中熟悉的强对偶条件： $\mathbf{x}\ge0$$\mathbf{y}\ge0$$\mathrm{supp}\{\mathbf{x}\}\cap\mathrm{supp}\{\mathbf{y}\}=\emptyset$$\mathbf{x}^{T}\mathbf{y}=0$

$$\mathbf{x}_{i}\mathbf{y}_{i}=0\;\forall i\in\{1,\ldots,n\}\overset{\mathbf{x}\ge0,\;\mathbf{y}\ge0}{\iff}\mathbf{x}^{T}\mathbf{y}=0.$$

在一般情况下，我们可以定义和和 的元素绝对值，如 很明显，和是隐式执行的。现在，结合正交性条件，以下是： $\mathbf{u}$$\mathbf{v}$$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$

$$-\mathbf{u}\le\mathbf{x}\le\mathbf{u},\quad-\mathbf{v}\le\mathbf{y}\le\mathbf{v}.\tag{*}$$ $\mathbf{u}\ge0$$\mathbf{v}\ge0$$\mathrm{supp}\{\mathbf{x}\}\cap\mathrm{supp}\{\mathbf{y}\}=\emptyset$ $$\text{There exists }\mathbf{u},\mathbf{v} \text{ satisfying (*) and } \mathbf{u}^{T}\mathbf{v}=0.$$ 请注意，该条件通常是非凸的，涉及此类约束的问题通常是 NP-hard。然而，一些特殊情况可以使用几何规划或半定规划技术在多项式时间内求解。