计算科学 - 为什么连续 Galerkin 有限元方法对于 Navier-Lame 方程的反问题不是很好的选择？ - 吾爱随笔录

为什么连续 Galerkin 有限元方法对于 Navier-Lame 方程的反问题不是很好的选择？

计算科学有限元 pde 有限体积

2021-12-02 20:09:18

我在一个经常使用标准有限元方法来求解一阶 PDE 的领域（弹性重建）工作，其中给定 u 并求解 mu 和 lambda：

(μ (u_{i, j} + u_{j, i}))_{, j} + (λ d i v u)_{, i} = - ρ ω^{2} u_{i}

$(\mu(u_{i,j} + u_{j,i}))_{,j} + (\lambda~div~\mathbf{u})_{,i} = -\rho \omega^2\mathbf{u}_{i}$

称为 Navier-Lame 方程。在这里，我们尝试解决“逆”情况（给定 u 求解 mu 和 lambda），这是一阶 PDE（而方程更常见的是求解 u，它是二阶 PDE）。

总体结果有点令人失望。在过去的一年里，我能够与四位相当杰出的应用数学家简单地谈论这个问题。他们的共识是，标准 FEM 虽然适用于二阶椭圆 PDE，但对于一阶 PDE 来说是不合适且不稳定的数学基础，而更好的解决方案可能是有限体积或不连续 Galerkin。

我所记得的讨论是一阶 PDE 具有特征曲线并且可以处理跳跃，而有限元，如二阶 PDE，在 C1 中始终是平滑的。

我在文本中找不到任何支持该观点的信息。谁能解释为什么标准 FEM 对于一阶 PDE 来说是一个糟糕的选择？或者这是不对的？

1个回答

当前上下文中有限元的问题不是你有一个一阶微分方程，而是你所拥有的一阶方程。一般来说，有限元方法可以很好地解决一阶问题，例如对流方程。但这不是重点。

为了说明这个问题，考虑识别系数的更简单的问题 $a(x)$ 从方程

- \nabla \cdot (a (x) \nabla u (x)) = f (x)

$-\nabla \cdot (a(x) \nabla u(x)) = f(x)$ 假设你知道

f (x)

$f(x)$ 和

u (x)

$u(x)$ . 确实，您可以将其写为未知数的一阶方程

a (x)

$a(x)$ ：

β \cdot \nabla a + γ a = f (x)

$\beta \cdot \nabla a + \gamma a = f(x)$ 在哪里

β (x) = - \nabla u (x)

$\beta(x) = -\nabla u(x)$ 看起来很像平流方向，并且

γ (x) = - Δ u (x)

$\gamma(x)=-\Delta u(x)$ 比如反应系数。所以这看起来像一个平流反应方程。

但是这个问题的解决方案不是很好，除非（i） $|\beta|\ge \beta_\text{min}>0$ ，即“风速”始终远离零，（ii）除非每个点 $x$ 在域中由向量场的“流线”连接 $\beta$ 到边界，并且 (iii) 你有边界值 $a(x)$ 在所有流入边界部分，即，其中 $\beta\cdot n<0$ .

但是，一般情况下，这三个条件都不满足。如果您考虑一个循环域并且您有 $f=1$ 在圆圈的外半部分和 $f=-1$ 在内半部（假设 $a=1$ 到处）。那么你的解决方案 $u(x)$ 将是旋转对称的，并且从边界开始上升然后再次下降——也就是说，你会有一个圆环。在这种情况下，山的边缘以外的每个点都通过流线连接到边界，但不在山的内部。此外， $\nabla u=0$ 沿着环形山的边缘。

在这种情况下，一阶 PDE 根本就不是一个适定问题 $a(x)$ . 在这种情况下，没有任何方法能够产生令人满意的解决方案，包括有限元法。

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