上弱施加狄利克雷边界条件。$\partial \Omega^-$

说下面的平流方程： 其中是流入边界：对于外向法线，这意味着流场正在流入这个流入边界上的域。我们可以假设流也是不可压缩的（）。现在常见的 FV 为： 其中

$$\begin{cases} u_t + \nabla \cdot (\mathbf{v} u) = 0 \quad \text{in }\Omega, \\ u= g \quad \text{on }\partial \Omega^-, \end{cases}$$ $\partial \Omega^-$$\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}< 0$$\mathbf{n}$$\mathbf{v}$$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ $$\int_K u_t(x,t)\,dx + \int_{\partial K} \mathbf{v}(x)\cdot \mathbf{n}(x) u(x,t)\,dS = 0 \quad \text{for any } t,$$ $K$是控制量（在你的情况下是间隔）。现在将每个控制体积的边界分解为两部分： $$\int_K u_t \,dx + \int_{\partial K\backslash \partial \Omega^-} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \,u \,dS + \color{blue}{\int_{\partial K\cap\partial \Omega^-} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}\, u \,dS} = 0$$ （感谢 Jan）只是将蓝色术语向右移动并替换$u$其边界数据将执行以下操作： $$\int_K u_t \,dx + \int_{\partial K\backslash \partial \Omega^-} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \,u \,dS = -\color{blue}{\int_{\partial K\cap\partial \Omega^-} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}\, g\,dS}$$ 蓝色的项是相等的，但是当你解方程后你会发现，即使当数据$g$是一个分段常数，因为我们只是弱强加了它，并且将流入 Dirichlet 边界视为 Neumann。很久以前，我在 Ern 和 Guermond 的书中看到了这种方法，用于对流扩散方程的不连续 Galerkin 公式（本质上是高阶 FVM）。

一般来说，这是不可能的。正如曹书豪指出的那样，对于纯粹的平流来说，对于扩散问题则不然。

对控制体进行积分并应用散度定理，内部的拉普拉斯算子变成沿边界取的正常导数：

$$\int_\Omega \nabla \cdot \nabla u dx = \oint _{\partial \Omega} \nabla u \cdot n ds$$

这里不可能合并 Dirichlet 数据，因为你不能从\partial \Omega_{-}上上的正常导数 . （在 1D 中，这意味着取标量的导数......）$u=g$$\partial \Omega_{-}$$\frac{\partial u}{\partial n}$$\partial \Omega_{-}$