我正在阅读 Crank-Nicolson 方法，并且经常说它会产生“虚假振荡”或者这种方法容易出现“振铃”，特别是对于大时间步长和刚性初始值。

我对这种现象很好奇，但我找不到任何令人满意的答案。我在这个网站上读到这可能是因为 Crank-Nicolson 方案不是 L 稳定的。

L-stable的定义是什么？这与振荡的产生有何关系？

由于傅立叶变换，我在这篇论文中找到了一个解释的开始（参见方程 9，第 255 页），但我真的不明白为什么频率$\varphi$只是介于$-\pi$和$\pi$，以及为什么$\varphi \approx \pm \pi$应该对应于“高频”。你也可以帮我吗？

最后，我想知道这种虚假振荡问题是否总是出现在 Crank-Nicolson 方案中，还是取决于您离散化的方程？

总结一下，我的问题是：

1. 使用 Crank-Nicolson 方案时，杂散振荡的起源是什么？
2. 这取决于我们考虑的方程式吗？
3. 什么是 L 稳定性，它与振荡有什么关系？（如果是）
4. 你能帮我理解eq. 本文第 9 篇，为什么$-\pi < \varphi < \pi$并不是$\varphi \in \mathbb{R}$?