计算科学 - 广义特征值问题 - 吾爱随笔录

我需要解决一个真正的广义特征值问题

$Ax= \lambda Bx(*)$

A 和 B 由以下等式计算：

A = \sum_{i, j = 1}^{N} W_{i j} (K_{i} - K_{j}) β β^{T} (K_{i} - K_{j})^{T}

$A=\sum_{i,j=1}^{N}W_{ij}(K_{i}-K_{j})\beta\beta^{T}(K_{i}-K_{j})^{T}$

B = \sum_{i = 1}^{N} D_{i i} K_{i} β β^{T} K_{i}^{T}

$B=\sum_{i=1}^{N}D_{ii}K_{i}\beta\beta^{T}K_{i}^{T}$ 。

其中是实数对称矩阵，对角线条目为，非对角线条目在之间。 $W$ $N*N$ $0$ $(0,1)$

$D$ 是一个对角矩阵，其中。 $N*N$ $D_{ii}=\sum_{j=1}^NW_{ij}$

$K_i$ 是一个矩阵，所有条目均为正数。 $N*M$

$\beta>0$ 是一个维列向量。 $M$

从上面的方程中，A 和 B 应该是对称半定的，B 应该是正定的（我自己做了一些证明）。

也许是因为一些数值损失（我不确定:(），似乎有小的负特征值（我使用 LAPACK 例程dsyev()进行特征值分解）并且给出了复杂的特征值。 $B$ $(*)$

我想选择这个广义特征值问题的P个最小特征值，所以这里的复数值确实是个问题。在这种情况下，有什么办法可以避免复杂的特征值？

顺便说一句，我使用犰狳作为线性代数库并直接使用 LAPACK 例程dggev() ) 。 $(*)$

任何建议将不胜感激。