在有 100 万个变量时，您有点接近 IPOPT 之类的代码（公开发布的版本）可以做的事情。IPOPT 将使用直接方法求解从内点法派生的 KKT 系统（通常，它是使用 Bunch-Parlett之类的$LDL^{T}$对于大规模问题，内存通常是这些算法中的限制资源。我怀疑 NLopt 会更好。内点方法应该适用于大规模问题，而 SQP 算法（例如 NLopt 中的 SLSQP）不应该表现得那么好。Method-of-moving-asymptote 方法已用于拓扑优化，并且应该面向解决大规模问题，但我对这些方法没有太多经验。

更令人担忧的可能是缩放；甚至。这是需要注意的事情，不一定是表演的终结者。$(1.05)^{200} \approx 10^{10}$

这里的一个重要问题是这是否是一个凸优化问题。

您的目标函数是加权 sum-exp 函数（由于和是固定的，您可以使用日志基本公式的更改将其写为。假设是非负的，你有一个凸。不幸的是，你试图最大化，这是错误的方向。如果有人如果你所有的系数都是负数，那么你会最大化一个凹函数，这是一个很好的例子。如果系数有混合符号，你通常会有一个非凸的目标函数。$d$$c_{i}$$\sum \hat{c}_{i} \exp(x_{i})$$\hat{c}_{i}$$f(x)$$c_{i}$$c_{i}$

已经对最小化凸 log-sum-exp 函数的相关问题进行了研究（注意是目标函数的单调变换），如果您的优化问题确实是凸的，这可能会有所帮助。更简单的是使用投影梯度法。 $\log$

另一方面，如果你的问题是非凸的，那么你就处于一个受伤的世界。

[我希望你在发布后解决了这个问题。或者说你从那以后就毕业了。:)]

这看起来很像这些问题之一，需要推理而不是明确解决。

对于（这似乎是其中一个约束所暗示的），$d \simeq 1$$d^x \simeq 1 + x(d-1)$

因此最小化问题大致等价于

$$\begin{equation} \min\left( \sum_i x_i (d-1) c_{i}\right) \\ 0 \leq x_{i} \leq a\\ \sum_{i} x_{i} \leq b \end{equation}$$

因为这相当于最大化$d - 1 < 0$

$$\begin{equation} \max\left( \sum_i x_i c_{i}\right)\\ 0 \leq x_{i} \leq a\\ \sum_{i} x_{i} \leq b \end{equation}$$

我不是该主题的专家，但这看起来像是这些线性规划问题之一，我相信它具有有效的计算解决方案。

事实上，这个函数的极值不可能存在于域的内部点，所以只能检查约束的“边界”。也许这也是原始问题的一个属性。

我上面描述的级数展开也很可能不仅是一个近似值，而且是一个最小化函数的界限，在这种情况下，它可以允许获得最小值的上限。

这看起来像平滑/非平滑技术可以在将其投入计算机之前在理论上说一些事情：如果将两个未知数替换为会发生什么？$(x_i, x_j)$$(x_i+\varepsilon, x_j - \varepsilon)$

你能证明其中一些变量必须是或，或者它们必须彼此相等或具有特定比率吗？换句话说：你能通过解决限制为两个变量的子问题来获得条件吗？$0$$a$