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Runge-Kutta 方法如何估计局部误差和全局误差

计算科学龙格库塔

2021-11-25 21:29:23

Runge-Kutta 方法在实际求解微分方程组时如何估计局部误差和全局误差？

我使用 Richardson 外推法来选择自适应步骤[Solving Ordinary Differential Equations I - Nonstiff Problems 167-168p]。

我看到了以下公式来估计一个微分方程的全局误差： $\delta_{i+1} = \delta_{i}\cdot e^{\int^{t_{i+1}}_{t_i} \mu ds} + r_k$ ，在哪里 $r_k$ 步骤中的局部错误， $\mu$ - 的最大特征值 $\frac{J + J^T}{2}$ ( $J$ 是系统的雅可比）。但是我没有找到它的解释和在ODE系统中的应用。

1个回答

局部误差通常使用一对嵌入式 Runge-Kutta 方法来估计。经典示例是 4(5) 对（例如，Dormand-Prince），其中通过比较四阶和五阶解来估计单个步骤的误差。其他方法包括将时间步长减半或理查森外推等方法。

您所指的全局估计是 Dahlquist 使用的对数范数，它是 ODE 解的范数增长的一个界限。（参见Soderlind 关于对数范数的这篇评论论文的参考文献3。Gronwall 使用 Lipschitz 常数证明了类似的、较弱的结果；参见Gronwall 的不等式。）

在 ODE 的解决方案中，有多种方法可以限制和估计全局误差，我敢肯定我不会列出所有这些方法。

对于估计，我所知道的最新论文是由Constantinescu 撰写的，其中有大量值得一看的参考资料；其他值得注意的论文包括Skeel 的最新评论、Estep 的伴随方法（他有一系列基于伴随的后验误差估计论文）以及Cao 和 Petzold 的伴随方法。

边界也可以使用区间算术和泰勒方法来计算。Joseph Scott的论文应该有许多讨论这个话题的参考资料。

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