计算科学 - 具有跳跃条件的边界值常微分方程的数值方法 - 吾爱随笔录

具有跳跃条件的边界值常微分方程的数值方法

计算科学颂非线性方程

2021-11-27 21:31:04

我想解决特定类型的非线性方程组。我觉得很难表述清楚，所以我直接举一个简单的例子。

$f''=A(f,g)\\ g''=B(f,g)$

边界条件如下：

$f'(0)=g'(0)=0$

$f'(\infty)=g'(\infty)=0$

在处， f 是连续的，但存在不连续性： $x=1$ $g$

$f'(1^-)=f'(1^+), ~~~ f(1^-)=f(1^+) \\ g(1^-)=g_{left}, ~~~g(1^+)=g_{right} \\$

因此，我们可以将其视为两个问题，一个针对，一个针对，但边界条件在中耦合。当我有一个分析解决方案时，没什么大不了的。解决每一边的问题，然后匹配处的解决方案。 $x<1$ $x>1$ $x=1$ $x=1$

我不使用数值方法，我什至不知道如何调用这个问题。我有一些想法来解决这个问题，但我希望在此之前阅读一些相关内容。

1个回答

这些问题通常称为具有跳转条件的接口问题；一个例子是论文Immersed-interfacefinite-element methods for elliptic interface questions with nonhomogeneous jump conditions。

通常，它们出现在断裂力学中的偏微分方程中，以模拟由于裂纹引起的应力不连续性，但它们也可以出现在热建模或电磁建模等问题中，以描述称为“接触电阻”的东西，或者基本上是由于薄膜。

如果您知道不连续点的位置，并且它不会移动或改变形状，您通常会将离散化拟合到不连续点，以便不连续点与网格上的节点重合。如果您沿不连续性复制网格节点-在您的情况下，它是一维的，因此您将在处有两个节点，因此是一个节点，并且是另一个节点——那么您可以使用该离散化来形成数值方法。这种方法通常用于具有空间不连续性的 PDE。您还可以使用切割单元离散化、使用水平集或某种前端跟踪来隐式跟踪界面。 $x = 1$ $x = 1^{-}$ $x = 1^{+}$

如果不连续性是一维的，那么自适应 ODE 积分方法也是一种选择，在这种情况下，一种可行的策略是按照您的建议进行并从初始条件积分到，停止积分器，重新初始化它处反映跳跃条件的新初始条件，并重新启动积分器。 $x = 1$ $x = 1$

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