认为$m \ge n$. 考虑函数

$$\begin{aligned}g(k) &= \frac{2^n-k-1}{2^n-k} \\ &= \frac{1-(k+1)2^{-n}}{1-k2^{-n}} \\ &= \left(1-(k+1)2^{-n} \right)\left(1 + k2^{-n} + k^2 2^{-2n} + O(2^{-3n})\right) \\ &= 1-2^{-n}-k 2^{-2n} + O(2^{-3n}) \end{aligned}$$ 对于足够大$n$,$g(1)$和$g(2)$本质上不同$2^{-2n}$，因此需要$2n$位来区分。相反，我们有 $$\left|\frac{a_1}{b_1}-\frac{a_2}{b_2}\right| = \left|\frac{a_1 b_2 - a_2 b_1}{b_1 b_2} \right| \ge \frac{1}{(2^n-1)(2^n-1)} > 2^{-2n}$$ 对于所有不同的分数，所以$2n$位也足够了。

恐怕我没有理论支持，但基于蛮力测试，我发现$t = 2n$从不产生碰撞（对于$n$取决于$20$）， 然而$t = 2n-1$总是这样。