计算科学 - 特征值分析与傅立叶分析的稳定性及其等价性 - 吾爱随笔录

我有一个关于常数系数 pde 稳定性分析的问题。假设我正在查看 pde

u_{t} = a u_{x x}

$u_t= au_{xx}$ 所以第一种方法是计算放大因子，这就是所谓的傅里叶方法。称它为

Q (ζ)

$Q(\zeta)$ 以及用于插入测试功能的显式方法

e^{i j h w}

$e^{ijhw}$ 我有

ζ = h w

$\zeta=hw$ 那

Q (ζ) = 1 - 4 a τ / h^{2} s i n^{2} (ζ / 2)

$Q(\zeta)=1-4a\tau/h^2sin^2(\zeta/2)$ 另一方面，矩阵的特征值分析

I + τ A

$I+\tau A$ ，在哪里

A

$A$ 是的离散近似

a u_{x x}

$au_{xx}$ 给出矩阵的特征值

I + τ A

$I+\tau A$ 与放大系数完全相同

Q (ζ)

$Q(\zeta)$ .

它们是否总是相同的，这些方法是否等效？所以，我可以计算任何一个，并确保它是有界的 $1$ ?

第二个问题。自从 $A$ 是对称的，这意味着 $\max \lambda_i=||I+\tau A||_2$ . 但是，如果我使用非均匀网格，那么 $\max |\lambda_i| \leq ||I+\tau A||_2$ 因此两者都不能保证稳定性，因为我只能证明 $\max |\lambda_i|\leq 1$ . 那么在非均匀网格的情况下，稳定性的充分条件是什么？