函数求值条件数

$$\mathrm{cond}(f,x) := \left| \frac{x f'(x)}{f(x)} \right|$$ 在根处是无限的$f$. 因此，重新调整定义牛顿方法退出条件的容差是没有用的。例如，天真地，你会退出牛顿迭代 $$x_{k+1} := x_{k} - f(x_{k})/f'(x_{k})$$ 当（说）$|f(x_{k+1})| < \epsilon$， 在哪里$\epsilon$是（再次，比如说）双小量。然而，即使$x^{*}$是根的正确浮点近似值，我们不能保证$|f(x^{*})| < \epsilon$，由于上述病态。

有没有办法定义一个广义的条件数$\kappa(f, x)$对于牛顿法，这样一个合理的终止条件就可以写成$|f(x_{k})| < \kappa(f, x_{k}) \epsilon$.

注意，即使是终止条件的提议形式也是有问题的，因为序列$\{x_{k}\}$在重新缩放下是不变的$f\mapsto \lambda f$，但终止条件的建议形式不是。我们可以写一个尺度不变的终止条件吗？

导致我提出这些问题的功能是

$$f(z) := 601080390z -185961388.136908293 + 141732493.98435241i$$ 将牛顿迭代应用于此导致在三个迭代中收敛到真正的根，从猜测开始$i$， 但$|f(z^{*})| \approx 3\times 10^{-8}$，在双精度中不知何故感觉“远非零”，所以我的终止条件从未满足。