计算科学 - 求解 Hadamard + 线性系统 - 吾爱随笔录

我需要求解一个包含 Hadamard 积和标准矩阵乘法的矩阵方程：

A ⊙ X + B X = C

$A\odot X + BX = C$ 在哪里

A, C, X \in R^{m \times n}

$A, C, X \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ,

B \in R^{m \times m}

$B \in \mathbb{R}^{m \times m}$ ，和

⊙

$\odot$ 表示逐元素（Hadamard）矩阵乘积。

这种系统有名字吗？我检查了标准资源（Golub 和 van Loan、Horn 和 Johnson），但没有发现任何关于此类问题的讨论。

如果我们让 $a = \text{vec}(A)$ , $x = \text{vec}(X)$ , $c = \text{vec}(C)$ 和 $\tilde{a} = \text{diag}(a)$ ，则变为：

a ⊙ x + (I \otimes B) x = \tilde{a} x + (I \otimes B) x = c

$a \odot x + (I \otimes B)x = \tilde{a}x + (I \otimes B)x = c$ 有解决方案

x = (\tilde{a} + (I \otimes B))^{+} c ⟹ X = unvec [{(diag (vec (A)) + I \otimes B)}^{+} vec (C)]

$x = (\tilde{a} + (I \otimes B))^+c \implies X = \text{unvec}\left[\left(\text{diag}(\text{vec}(A)) + I\otimes B\right)^+\text{vec}(C)\right]$ 在哪里

\otimes

$\otimes$ 是克罗内克积和

(\cdot)^{+}

$(\cdot)^+$ 是 (Moore-Penrose) 伪逆。

虽然使用迭代求解器并不太贵（因为 $\tilde{a} + (I \otimes B)$ 运算符可以或多或少地被评估），但如果可能的话，我想避免这种情况。是否有可能为这类问题推导出解析解？

在https://math.stackexchange.com/questions/2583719/how-to-solve-the-linear-equation-a-circ-xb-cx-d讨论了类似的问题，但它们停在“vec” d-out”解决方案。

使用线性代数 m,n = 30,50； X,A,C,B = zeros(m,n), randn(m,n), randn(m,n), randn(m,m); 对于 k = 1:n X[:,k] = (对角线(A[:,k]) + B) \ C[:,k]; 结尾范数（A.*X + B*X - C） 1.3032451036976518e-12