这是我要最小化的功能：

\sum_{i} \frac{ρ_{τ} (1 - α - x x_{i}^{⊤} β β)}{\sqrt{1 + β β^{⊤} β β}}

$\sum_i\frac{\rho_{\tau}(1-\alpha-\pmb x_i^{\top}\pmb\beta)}{\sqrt{1+\pmb\beta^{\top}\pmb\beta}}$

在哪里 $\alpha\in\mathbb{R}$ , $\pmb\beta\in\mathbb{R}^p$ 是我们要优化的参数 $\tau\in(0,1)$ 和 $\pmb x_i$ 给出并且：

ρ_{τ} (x) = τ max (0, x) + (1 - τ) max (- x, 0)

$\rho_{\tau}(x)=\tau\max(0,x)+(1-\tau)\max(-x,0)$

它是 L2 项（分母）和 L1 项（分子）的平方根的组合。我不清楚这个问题是否可以被视为凸优化问题（我猜是 SOCP），如果可以，如何重新制定以使其成为标准（SOCP？）形式。我想这两个问题之一的答案就是我正在寻找的。

编辑：

这是描述的目标函数：He, Xuming; 梁华（1997）。 一类线性和部分线性变量误差模型的分位数回归估计。无门副本。