计算科学 - 集总质量矩阵的影响 - 吾爱随笔录

我最近从更数学的角度完成了有限元方法的入门课程（跟随 Brenner 和 Scott），我们被介绍到椭圆问题中的有限元质量矩阵，因为矩阵是由没有导数的项产生的。例如，具有以下形式的一维亥姆霍兹型方程

- u (x)^{″} + a u (x) = f (x), 0 < x < 1, a > 0 u (0) = u (1) = 0

$-u(x)'' + au(x) = f(x), \quad 0 < x < 1, \quad a>0\\ u(0) = u(1) = 0$

有一个相应的弱公式，要求我们找到使得 $u$

\int_{0}^{1} u^{'} v^{'} d x + a \int_{0}^{1} u v d x = \int_{0}^{1} f v d x \forall v \in H_{0}^{1}

$\int_0^1 u' v'dx + a\int_0^1uv dx = \int_0^1fvdx \quad \forall v \in H^1_0$

其中。 $H^1_0 = \{v \in H^1 : v(0) = v(1) = 0\}$

选择作为具有基的符合有限维子集，并且说，我们得到线性问题 $S \subset H^1_0$ $\{ \phi_i \}_{i=1}^N$ $u = \sum_{j = 0}^N u_j \phi_j$

(K K + a M M) U = F

$(\pmb{K} + a \pmb{M})U = F$

其中是刚度矩阵，是质量矩阵。例如，有限元方法通常通过选择作为分段多项式空间来进行。这个公式自然地扩展到更高的维度。 $K_{ij} = \int_0^1 \phi_i' \phi_j' dx$ $M_{ij} = \int_0^1 \phi_i \phi_j dx$ $S$

从上一篇文章：如何在 FEM 中制定集中质量矩阵，有多种方法可以集中质量矩阵。例如，通过对非对角项求和：。 $M_{ii} = \sum M_{ij}$

我的问题是这样做的理由是什么？是否有数学推理为什么这应该给出一致的方法？有没有办法量化这样做引入的错误？我已经看到了一个解释，它在力学的背景下证明了质量矩阵集总的合理性，其中这个假设意味着系统的质量集中在离散点上，但是这如何推广到更一般的椭圆 PDE 问题？