这似乎是一个有点异国情调的建议，但如果你的多项式是固定的、低阶的，为什么不使用同伴/同事矩阵的特征值作为根的初始值呢？

这可能很昂贵，但如果您必须对稍微修改的多项式重复该操作，您可以使用一到两个步骤的逆迭代来更新根。尽管每次迭代都涉及矩阵逆，但请回想一下，同事/同伴矩阵加上逆迭代移位只是一个附加了额外列的双对角矩阵，因此系统可以求解$\mathcal O(n)$操作。

如果你有一个合理的起始猜测，并且你试图找到一个根的函数不是过于复杂，那么你就无法击败牛顿的方法。它也很容易实现——大多数语言的 10 行练习。

如果您没有准备好初步猜测，我会尝试Bairstow 的方法。如果需要，还可以进行牛顿细化（但如果您对 2-3 位数字感到满意，则可能不会）。

为了完成数值方法的枚举，如果已知的根确实是下一个多项式的根的良好近似，那么可以使用 Weierstraß 方法，俗称 Durand-Kerner 方法。它一次更新所有根，并且与牛顿法一样快，实际上是牛顿法用于多维问题。

Aberth-Ehrlich 方法是相关的，但不确定更高的计算量是否会带来整体更快的收敛。

此外，由于您正在进行某种光线追踪，由多项式曲面与光线相交产生的单变量多项式，您可以将图像划分为 6x6 或 8x8 块，计算中心像素的根，然后计算梯度交点处的曲面。您可以通过使用衍生代码生成器 Tapenade 来获得有关如何做到这一点的灵感。

使用点$x^*$和梯度$\nabla f(x^*)$对于切平面方程$\langle \nabla f(x^*),\,x\rangle=\langle \nabla f(x^*),\,x^*\rangle$，通过与光线相交，您可以获得更好的初始近似值$x_v(t)=\vec c+t\vec v$其他像素首先与切平面。

检查$\langle \nabla f(x^*),\,v\rangle\approx 0$，这发生在接近视觉轮廓的地方。这些是任何方法中的关键案例，因为它们有多个或非常接近的根源。