计算科学 - 求解非线性抛物 PDE 的 Crank-Nicolson 方法 - 吾爱随笔录

计算科学 pde 有限差分抛物线pde

2021-12-17 00:17:53

Crank-Nicolson 方法是否适用于求解非线性抛物线 PDE 系统，例如 $\partial u/\partial t - a\Delta u + u^4 = 0$ ?

我试图应用这种方法来解决这样的系统，但解决方案是振荡的（可能是因为时间导数的系数值很小）并且隐式欧拉方法计算了一个正确的解决方案。

2个回答

这种现象通常被称为“响铃”并且困扰着那些不是 $L$ -稳定的。这可以从 Hairer & Wanner (1999) “通过 Radau 方法求解的刚性微分方程”的这个激励示例中看出。考虑方程

\dot{y} = - 50 (y - \cos t)

$\dot y = -50 (y - \cos t)$

并应用时间步长接近稳定性极限的显式欧拉、隐式中点（或等效于这个问题，梯形规则，又名 Crank-Nicolson）和隐式欧拉。结果如下所示，说明 $A$ -稳定（但不是 $L$ -stable) 隐式中点法产生质量差的解决方案。

Hairer and Wanner (1999) 图 1

为了在求解刚性系统时避免这个问题，您应该使用 $L$ - 稳定的方法，例如 BDF-2、合适的 DIRK 或 Radau 方法。有关该主题的广泛讨论，请参阅 Hairer 和 Wanner 的第二卷。

理论上，如果隐式 Euler 方法适用于该方程，则 Crank--Nicolson 方案也应该适用。让 $\tau$ 是时间步长，如果我们只考虑时间离散化，线性化 Crank-Nicolson 方案由下式给出

\frac{u^{n} - u^{n - 1}}{τ} - \frac{a}{2} (Δ u^{n} + Δ u^{n - 1}) = - (\frac{3 u^{n - 1} - u^{n - 2}}{2})^{4} .

$\frac{u^n-u^{n-1}}{\tau} - \frac{a}{2} ( \Delta u^n+ \Delta u^{n-1} ) = -(\frac{3 u^{n-1}-u^{n-2}}{2})^4 .$

在方程的正则性好的情况下，上述方案是可以的。此外，空间逼近不影响方案的稳定性，可以使用有限差分法和有限元法求解。

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