最近研究了如何构造Krylov子空间的正交基来求解$Ax=b$， 在哪里$A\in \mathbb{R}^{n\times n}$是非奇异的。我们知道，通常有 4 种方法来构建一个$m$维 Krylov 子空间如下：$\{v,Av,...,A^{m-1}v\}$

1. 标准革兰-施密特 (GS)；
2. 改良的革兰-施密特 (MGS)；
3. 户主反思（House）；
4. 重新正交化的 MGS (MGSR)。

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Method} & \textbf{Work} & \textbf{Storage} \\ \hline \text{G-S} & 2m^2n & (m+1)n \\ \hline \text{MGS} & 2m^2n & (m+1)n \\ \hline \text{House} & 4m^2n-\frac{4}{3}m^3& (m+1)n-\frac{1}{2}m^2 \\ \hline \text{MGSR} & 4m^2n & (m+1)n \\ \hline \end{array}$$

我的问题来自计算工作，MGSR 最多是 GS 和 MGS 的两倍。从数值稳定性来看，Householder是最可靠的方法，但计算量很大。对我们来说，如果给定任意矩阵，我们应该如何选择最好的算法来编写该方法，例如 gmres.m？有标准吗？顺便说一句，我发现我的 Matlab 2018b 选择了 Householder 方法。这是否意味着在实践中，Householder 被证明是最有效和最稳定的方法？$A$