计算科学 - 在没有溢出问题的情况下计算指数函数的比率 - 吾爱随笔录

在没有溢出问题的情况下计算指数函数的比率

计算科学浮点

2021-12-16 00:53:14

我对计算函数的逐点值感兴趣 $u(x) = \sinh(k-kx)/\sinh(k)$ 为了 $x \in (0,1)$ ，在哪里 $k = 10^{4}$ . 直接计算当然会导致溢出问题，因为 $\exp(k)$ 因素。然而， $u(x)$ 只取 0 到 1 之间的值，所以我想知道是否有一种聪明的方法可以计算这个数量。我们也可以写 $u$ 作为

u (x) = \frac{e^{k - k x}}{e^{k} - e^{- k}} - \frac{e^{k x - k}}{e^{k} - e^{- k}} .

$u(x) = \frac{e^{k-kx}}{e^{k}-e^{-k}} - \frac{e^{kx-k}}{e^{k}-e^{-k}}.$

我想先尝试取对数，看看是否有任何简化，但我无法取得进展。有没有人对我如何获得这个函数的逐点数值有建议？我知道函数本质上是 1 在 $x=0$ 和 0 其他地方，但我很好奇原来的问题。

2个回答

我的想法是近似值 $\exp(k)-\exp(-k)\approx \exp(k)$ 对于大的正值 $k$ . 但相反，我们可以将分子和分母除以 $\exp(k)$ 并得到一个准确的表达

\frac{\exp (k - k x) - \exp (k x - k)}{\exp (k) - \exp (- k)} = \frac{\exp (- k x) - \exp (k (x - 2))}{1 - \exp (- 2 k)}

$\frac{\exp(k-kx)-\exp(kx-k)}{\exp(k)-\exp(-k)} = \frac{\exp(-kx)-\exp(k(x-2))}{1-\exp(-2k)}$ 应该可以在没有溢出的情况下进行评估。（请注意，这与用于评估log-sum-exp 函数而不会溢出的技术完全相同。）

在你给出的假设下 $x$ 我假设 $k$ 也是正数，您可以计算此函数的渐近展开式 $k\to\infty$ ：

u (x) \sim e^{- k x} - e^{- k (2 - x)} + e^{- k (2 + x)} - e^{- k (4 - x)} + e^{- k (4 + x)} + \dots

$u(x) \sim e^{-kx} - e^{-k(2-x)} + e^{-k(2+x)} -e^{-k(4-x)} +e^{-k(4+x)} + \ldots$ 从中你可以看到，如果

k

$k$ 足够大（并且

10^{4}

$10^{4}$ 当然是），只有第一项是重要的。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇带有 GEKKO 的 MINLP - 离散变量建模下一篇稀疏矩阵应该有多“稀疏”才能看到好处？