计算科学 - 在 a 中找到一组线性独立的列米× ñm×n矩阵 - 吾爱随笔录

计算科学本征系统矩阵

2021-12-07 01:38:02

我的问题是在数学、物理和信息学之间。假设我有一个可以对角化的哈密顿量（厄米特矩阵）。允许这种转换的矩阵是用我的哈密顿量的特征向量构建的酉矩阵。

现在假设我只选择 $n$ 长度的第一个特征向量 $m$ . 矩阵 $A$ 可以用这些特征向量构建，它的大小是 $m\times n$ 和 $m>n$ . 特征向量是 $A$ 矩阵。这 $n$ 特征向量当然是线性无关的。

然后，我选择 $n$ 我的行 $A$ 矩阵和构建 $B$ ，一个新的 $n\times n$ 矩阵。这是逻辑 $B$ 可以是这样的 $\det(B)=0$ .

这是我的问题：有没有办法（如果可能，使用 Lapack）随机选择行以确保 $\det(B)\neq0$ ?

2个回答

是的。只需运行 $n$ 矩阵伴随的以列为中心的 QR 的步骤。您可能想查看zgeqp3。

如果你表达旋转的结果 $QR$ 分解为：

A^{H} Ω = Q R,

$A^H \Omega = Q R,$ 你的

B

$B$ 矩阵将是最左边的伴随矩阵

n

$n$ 列

A^{H} Ω

$A^H \Omega$ ，作为

Ω

$\Omega$ 是一个置换矩阵。

我想如果我正确理解了您的（长）问题，那么这里是它的摘要：您有一个矩阵 $A\in {\mathbb R}^{n\times m}, n>m$ 具有完整的列排名。我能找到一个子集吗 ${\cal I}\subset [1,n], |{\cal I}|=m$ 的行 $A$ 是线性独立的？

如果是这样，那么这里有一个算法：从 ${\cal I}=\{\}$ 并重复：

这本质上是对一棵树的深度优先搜索，其终端节点代表所有 $m$ - 行的元组并尝试找到第一个包含 $m$ 线性独立树，修剪那些小于 $m$ 向量已经线性相关。

这可能不是一个有效的算法，但它应该适用于小型 $m$ .

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