计算科学 - 用左手边的空间和时间导数求解 PDE - 吾爱随笔录

用左手边的空间和时间导数求解 PDE

计算科学有限体积数字平流扩散

2021-12-11 01:37:10

我希望求解形式的方程，

\frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial ϕ}{\partial x}) = - \frac{\partial}{\partial x} (F)

$\frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) = -\frac{\partial}{\partial x}(\mathcal{F})$

对于变量（例如质量）。 $\phi$

右边是量。 $\mathcal{F}$ $\phi$

这个方程“看起来像”的空间导数的变化率出现在左侧。 $\phi$

应用有限体积方法，我们将方程积分到单元上， $\Omega$

\frac{\partial}{\partial t} \int_{Ω} (\frac{\partial ϕ}{\partial x}) d x = - \int_{Ω} \frac{\partial F}{\partial x} d x

$\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)dx = - \int_{\Omega}\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial x} dx$

\frac{\partial}{\partial t} (\frac{ϕ_{j + 1 / 2}}{h_{j}} - \frac{ϕ_{j - 1 / 2}}{h_{j}}) = - (\frac{F_{j + 1 / 2}}{h_{j}} - \frac{F_{j - 1 / 2}}{h_{j}})

$\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\phi_{j+1/2}}{h_j} - \frac{\phi_{j-1/2}}{h_j}\right) = -\left( \frac{\mathcal{F}_{j+1/2}}{h_j} - \frac{\mathcal{F}_{j-1/2}}{h_j}\right)$

其中单元格的宽度。 $h_j$

这种基本方法正确吗？我以前从来不需要解一个空间导数的时间导数的方程，这是我采用的方法，有人有什么建议或方向吗？我还没有尝试以数字方式实现这一点。

2个回答

我在下面描述的是特征方法的一个版本。它的应用程序是有限的，但如果它适用于您的情况，这将是一个相当简单、快速和准确的过程。如果您想在网格上离散化，它可能没有那么有用。

假设你的解决方案 $\phi$ 是平滑的，您可以将其简化为一系列 ODE 问题。先交换左边导数的顺序，得到

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial t} ϕ = - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} ϕ . \end{matrix}

$\begin{gather} \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial t} \phi = -\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x} \phi. \end{gather}$

现在你定义 $\psi = \partial_x \phi$ 并解决

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} ψ = - \frac{\partial}{\partial x} ψ, or (\partial_{t} + \partial_{x}) ψ = 0, \end{matrix}

$\begin{gather} \frac{\partial}{\partial t} \psi = -\frac{\partial}{\partial x} \psi, \qquad\text{or}\qquad (\partial_t+\partial_x)\psi=0, \end{gather}$ 这是一阶双曲守恒定律和线性。因此，

\begin{matrix} ψ (t, x) = ψ (0, x - t), \end{matrix}

$\begin{gather} \psi(t,x) = \psi(0,x-t), \end{gather}$ 那是，

ψ

$\psi$ 已经由其初始值确定。

最后，通过施工观察 $\psi = \partial_x \phi$ ，你计算（边界条件允许）：

\begin{matrix} ϕ = \int ψ (t, x) d x . \end{matrix}

$\begin{gather} \phi = \int \psi(t,x) \,dx. \end{gather}$

方程是 $\partial_{t} \psi = \partial_{x} F(\phi)$ 在哪里 $\psi = \partial_x \phi$

时间积分可以通过例如显式时间步长来完成：

$\psi^{j+1}_i = \psi^j_i + \frac{\tau}{2 dx} (F^j_{i+1}-F^j_{i-1})$ ,

这需要 $F$ 在每个网格节点上是已知的 $i$ 在“旧”时间片 $j$ .

这可以通过添加数字“反转”运算符来实现 $\phi(x_i)=\int_{x_0}^{x_i} \psi(x)$ 每次在评估函数之前使用 $F$ . 如果 $\psi$ 在每个网格点已知 $i$ 在旧时间片 $j$ 然后可以评估积分（例如，通过高斯求积）所以 $\phi$ 可以在每个网格点找到 $i$ ; 所以 $F$ 也可以在每个网格点找到。然后可以执行时间步长并且 $\psi^{j+1}$ 被发现。此方法也适用于隐式时间步长。

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