我有许多向量和另一个向量，它们都是线性独立的，但不是正交的。让。我需要从的投影，即我需要找到向量使得和。，我需要只执行一次。$v_1, …, v_n$$w$$V := \mathop{\text{span}}(v_1, …, v_n)$$w$$V$$w$$\tilde{w}$$\langle \tilde{w},v \rangle = 0 ~∀~ v∈ V$$w-\tilde{w} ∈ V$$V$

请注意，标量积不是规范标量积，并且成本高于。接触标量积会非常乏味，因此出于这个问题的目的，您可以将其视为黑盒。$n$

到目前为止，我对此的最佳解决方案是将 Gram–Schmidt 正交归一化应用于集合，而不归一化最后一个向量，即。换句话说，我首先正交归，然后分别删除对获得。$v_1, …, v_n, w$$\tilde{w}$$v_1, …, v_n$$\hat{v}_1, …, \hat{v}_n$$w$$\hat{v}_1, …, \hat{v}_n$$\tilde{w}$

这样做，我需要计算标量积（或规范），只是为了将正交化作为最后一步的先决条件，这仅涉及标量积。感觉可能有一些更有效的方法可以做到这一点，但我找不到。$\frac{n(n-1)}{2}$$V$$n$