除了 QR 算法，分治法也值得一提。它适用于对称三对角矩阵，但任何矩阵都可以通过 Lanczos 方法* 简化为这种形式。它取决于观察到，三对角矩阵在 1 阶扰动下是块对角矩阵。然后可以找到子块的特征分解（并行！）并使用巧妙的技巧将它们粘合在一起。当然，找到块的特征值必须使用 Federico 提到的 QR 方法。

但是，您要求使用直接方法—— QR 和分而治之都是迭代方法。嗯，没有类似于 LU 分解的直接方法来找到大于 5 维矩阵的特征分解，只有迭代方法。如果存在这样一种直接方法，则可以将任意高次多项式的零点作为系数的代数函数，而伽罗瓦告诉我们这是不可能的。Golub-Kahan SVD 算法也是迭代的。

隐式 (Francis) QR 迭代，带有几个额外的技巧，是标准算法。我建议您查看诸如 Watkins 的The Matrix Eigenvalue Problem之类的书以了解详细信息；这是一个经典的话题。

（我发现您熟悉 Golub 的 SVD 但不熟悉 QR，这很不寻常——这两种方法相似，通常一起教授）。