计算科学 - 用于生成具有固定最小间距的一维非均匀网格的简单函数 - 吾爱随笔录

我正在解决一个平流扩散问题，其中解决方案变量大部分是平坦的，除了靠近域中心的一个小区域，那里有形状梯度。我想为一维有限体积单元（见下文）生成网格面，其中单元聚集在域的中心。

以单元格为中心的网格

我没有尝试过移动或自适应网格划分，因为对于这个应用程序来说，这将是多余的。我只是想要一个静态但不均匀的网格。这在表面上看起来很简单，但我发现它很棘手，并希望得到一些建议。

我正在使用以下方法。单元面的均匀分布由下式定义，

x_{j + 1 / 2} = \sum_{j = 0}^{N} h n

$x_{j+1/2} = \sum\limits_{j=0}^N hn$ 在哪里

h

$h$ 是恒定的网格间距。

为了生成聚集的非均匀单元面，我计划简单地将均匀网格序列除以网格密度函数 $\rho$ . 例如，

x_{j + 1 / 2} = \sum_{j = 0}^{N} \frac{h n}{ρ}

$x_{j+1/2} = \sum\limits_{j=0}^N \frac{hn}{\rho}$

选择一个高斯网格密度函数，加上常数，使其在用作分母时不会变得奇异，允许网格密度在曲线峰值附近增加，

ρ = a e^{\frac{(x - b)^{2}}{2 c^{2}}} + 1

$\rho = ae^{\frac{(x-b)^2}{2c^2}}+1$

使用这种方法，我可以生成以下网格。注意网格点是如何从恒定间距开始的（因为 $\rho=1$ ，然后最初开始膨胀，然后围绕中心点收缩。我已经绘制了点之间的距离（蓝线）以突出问题。

非均匀网格

如果网格间距没有增加到最小值以上，我会更喜欢 $h$ 价值。有没有办法保存这个属性？看来我可能需要一个零二阶导数的峰值函数。你能为这个问题提出一个更好的网格密度函数吗？