计算科学 - PI 的蒙特卡洛近似 - 吾爱随笔录

计算科学蒙特卡洛几何学

2021-12-22 03:32:11

我试图了解如何通过蒙特卡洛模拟来计算 Pi 的值。我在正方形内有一个圆，正方形的边与圆相切。作为数据，我有随机点的数量以及正方形一侧的长度与直径之间的比率。

\frac{l}{d} = r_{a}

$\displaystyle \frac{l}{d} = r_{a}$

根据我读过的内容，我必须计算圆圈内的点数和总点数。圆的面积是，正方形的面积是。要检查一个点是否在圆圈内，我必须检查 $A_{circle} = \pi r^2$ $A_{square} = l^2$ $\sqrt{x^2+y^2} <= r$

我不知道如何将比率与半径联系起来，以便检查该点是在圆内还是圆外。有什么建议吗？ $r_a$

更新

这是一件非常令人沮丧的事情，并且是蒙特卡洛近似的一个非常简单的例子。

假设那么我有因此，要检查一个随机点是否在圆内，我只需要检查那个 $d=1$ $\displaystyle \frac{l}{d} = l = r_a$

\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq \frac{1}{2}

$\sqrt{x^2 + y^2} ≤ \frac{1}{2}$

或者它必须与比率有关？ $r_a$

3个回答

假设您的圆具有单一半径：，则正方形边长等于。 $r=1$ $l = r_a \cdot d = 2\cdot r_a$

因此，圆的面积等于，正方形的面积等于。 $S_c = \pi$ $S_s = 4 r_a^2$

如果您在正方形内“扔”随机点，其中一部分（例如）将落入圆圈中。关系等于它们的面积比例： $N_t$ $N_c$ $\frac{N_c}{N_t}$ $\frac{S_c}{S_s}$

\frac{N_{c}}{N_{t}} = \frac{S_{c}}{S_{s}}

$\frac{N_c}{N_t} = \frac{S_c}{S_s}$

现在，要计算，您应该将N_c并乘以： $\pi$ $N_c$ $N_t$ $S_s$

π = 4 r_{a}^{2} \cdot \frac{N_{c}}{N_{t}}

$\pi = 4r_a^2\cdot\frac{N_c}{N_t}$

如果是单一的你应该设置 $l$ $r = \frac{1}{2 r_a}$ 。

我不认为你能找到半径 $r$ 与您提供的信息。例如，您可以想象拥有

两个圆都将与各自的正方形相切，并且都产生 $r_a=1$ . 因此，如果您的数据仅包含在 $r_a$ ，你无法区分这两种情况。

在这种情况下，数据 $r_a$ 似乎甚至没用，因为要获得与正方形边相切的圆，您需要 $r_a = 1$ .

如果你想忘记圆与正方形相切的假设，你仍然可以近似 $\pi$ 对于不同的值 $r_a$ 但是您需要修改公式，这并不能解决您的查找问题 $r$ .

最后一点是，实际上， $r$ 没关系：如果您在大小为 1 的正方形中有一组随机点，您可以缩放它们以使它们出现在大小为 1 的正方形中 $l$ （无论是 $l$ ）。将公式应用于大小为 1 或大小的正方形 $l$ 会给你完全相同的近似值 $\pi$ .

是的，这只是一个简单的拒绝采样应用程序。

只需绘制均匀分布在正方形定义的空间中的随机数，例如 (0,1) ..

跟踪您接受哪些数字（落在圆圈内；半径，r=0.5），以及您拒绝哪些数字（落在圆圈外）

请记住偏移 r=sqrt(x^2+y^2) 的标准，以便您将随机数评估为其距圆心的距离（例如 [0.5,0.5] = [x,y] 如果你的正方形是 (0,0),(0,1),(1,1),(1,0))

面积圆：pi * r * r

面积平方：l*w

比率 --> 接受/（接受+拒绝）= 面积圆/面积平方

                                    = pi * r * r / l * w
                                    = pi*(0.5*0.5)/1*1

等等。

您可以查找拒绝抽样......这是蒙特卡洛方法

其它你可能感兴趣的问题