如何使用有限差分离散传输方程中的经典对流项？我知道有限体积方案，即逆风，中心差分等。是否有直接的有限差分类似物？
我正在模拟多孔介质中的气体燃烧。涉及到几个偏微分方程，我的问题是关于气体的能量方程。这里是：
是气体温度，是固体。感兴趣的期限是.
对流项的有限差分离散化
计算科学
有限差分
流体动力学
2021-12-04 03:42:20
1个回答
首先，我将假设你其实是说, 的分歧. 如果不是这种情况，您将不会使用守恒定律，并且由于将标量添加到向量，您的方程将没有多大意义。
其次，我认为有限体积和有限差异可能存在一些混淆。有限差分这个术语有点令人困惑，因为它既指一种模板，又指一种方法。有限差分模板是在网格上定义的表达式，它通过使用相邻网格点来近似微分方程中的一项或多项之和。在一个一维的非结构化网格设置中，有限差分模板可以描述为以下形式的表达式
近似的函数和/或其在网格节点的衍生物. （这里当然是整数。）
相反，有限差分法是一种尝试使用从泰勒级数参数导出的有限差分模板将函数导数项直接离散到网格上的方法。这种方法通常不会保留微分方程结构的某些方面；有限差分方法通常不是保守的。请注意，中心差分法和基本迎风法通常都归入有限差分法。
相比之下，有限体积方法的设计考虑了守恒定律的结构。回想一下一般守恒定律的形式
当然在哪里也可能取决于其他数量。关键思想是，如果这个偏微分方程在一个小体积区域——一个有限体积——上积分，那么我们可以诉诸散度定理并将散度项重新定义为表面通量。由于相邻区域之间的表面通量大小相等而方向相反，因此该方法是保守的。如果我们处理函数的网格值——在这种情况下-- 作为单元平均值，那么我们实际上可以将有限体积方法重铸为简单的有限差分模板，尽管可能会增加通量限制器和逆向的复杂性。
回到您问题的主旨，如果需要能够解决冲击的准确方法，则中心差异和基本迎风技术通常都是不明智的。中心差异特别成问题，因为它们不尊重守恒定律固有的信息传播的特征方向。相反，有许多更现代的方法可以做得更好。
可用的最准确方法之一是Godunov 方法. Godunov 是守恒定律的有限体积方法，能够通过精确求解相邻有限体积单元之间的表面上的局部黎曼问题来解决冲击。与使用近似 Riemann 求解器或试图避免跨激波差分的其他方法不同，Godunov 的方法引入的人工粘度非常少，因此对于解决无粘性或接近无粘性问题中的对流特别有价值。当然，如此高的准确度是要付出代价的，Godunov 的方法是更难编程的方法之一——尤其是对于非结构化领域——而且计算成本也相当高。有关 Godunov 方法和其他精确和近似黎曼求解有限体积方法的更多信息，我强烈推荐 [1]。
On the other end of the spectrum are methods that do not resolve shocks exactly, but attempt to approximately "capture" them by appropriate choice of finite difference stencil. 这些被广泛称为冲击捕获方法，经典示例之一是基本非振荡 (ENO) 方法类。ENO 方法使用源自泰勒级数的标准有限差分模板，但利用局部信息（以牛顿除差形式）来选择避免跨冲击差异的模板。这是有利的，因为有限差分模板通常仅在底层函数局部平滑时才准确。
我建议 [2] 非常清楚地介绍 ENO 方法的基础知识，但是 Google 搜索会出现更多参考资料。ENO 方案不能像 Godunov 的方法那样解决冲击，并且不适用于无粘性或接近无粘性的问题，但它们非常容易编程并且计算效率很高。