计算科学 - 变分不等式可以处理非对称矩阵吗？ - 吾爱随笔录

计算科学优化 pde 宠物约束优化

2021-12-08 04:02:41

我正在尝试对具有各向异性扩散张量（例如，速度的张量色散）的扩散型问题实施离散最大原则（即确保非负浓度）。对于标准扩散方程，我可以使用凸优化，因为我将有一个对称的正定矩阵。

但是，假设我正在使用对流扩散方程。我的问题现在是非对称和非自伴的（我在其公式中观察到负浓度），因此我不能使用凸优化。最近，我听说 PETSc 的 SNES 求解器具有变分不等式功能，并且有人告诉我这种求解器适用于非线性问题。现在我的问题是，这个求解器可以应用于像对流扩散这样的问题吗？

1个回答

确实可以将平流-扩散方程的障碍问题写成变分不等式：如果 $a(u,v)$ 是对应于您的对流扩散方程的双线性形式，相应的障碍问题（在您的特定情况下）正在寻找 $u\geq 0$ 这样

a (u, v - u) \geq (f, v - u) for all v \geq 0.

$a(u,v-u) \geq (f,v-u) \qquad \text{for all } v\geq 0.$ 原则上，它不需要对称或凸度即可。然而：

一般来说，不能保证障碍问题的解决方案与对流扩散问题的（非负）解决方案一致。在这种情况下，它可能会起作用，因为对流-扩散方程有变分原理；参见例如http://www.aero.caltech.edu/~ortiz/Pubs/1985/Ortiz1985.pdf。
PETSc 中的 SNES 例程基于半光滑牛顿方法，该方法（与任何牛顿方法一样）需要牛顿矩阵的一致有界可逆性。如果问题不是一致凸的，这并不总是成立。（但无论如何它可能会起作用。）

如何将你的变分不等式提供给 PETSc 是我将留给专家的事情。

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