计算科学 - 将 Dirichlet bc 应用于特征值问题 - 吾爱随笔录

如果您使用 FEM（关于变分公式），您可以离散一些连续的特征值问题，

L u = λ u on Ω,

$L u = \lambda u \ \ \text{on} \ \Omega,$ 成一些离散的、广义的特征值问题，

K v = λ M v,

$K v = \lambda M v,$ （这里 K 是刚度，M 是质量矩阵；对称和 M 都是正定的
）

v_{i}

$v_i$ 是特征向量的值

v

$v$ 在域的某个三角剖分的第 i 个节点上

Ω

$\Omega$ .

由于每个 PDE 都需要适当的边界条件，因此我们必须强制输入

v_{k} = 0

$v_k = 0$ 对所有人

k

$k$ 对应于具有同质 Dirchlet bc 的节点
一种方法是将所有行和列归零

K

$K$ 和

M

$M$ 根据这些

k

$k$ 的，只让

k

$k$ 的矩阵的对角线项

K

$K$ 非零（例如将其设置为

1

$1$ ）。对于计算，我在这里使用带有 lanzcos 或 krylov-schur 求解器（有或没有光谱变换）的 SLEPc 库，使用大型矩阵

K

$K$ 和

M

$M$ 在 CSR 格式中，因此进行此类转换可能非常昂贵。可能更严重的是我制作右手矩阵的问题

M

$M$ 单数; 解决广义特征值问题基本上就是解决相应的简单问题：

M^{- 1} K v = λ x .

$M^{-1} K v = \lambda x.$

现在我想问一些在这方面有更多经验的人如何以最佳方式将 Dirichlet bc 应用于此类问题。