这取决于你的非线性函数$\mathcal{N}.$ 稳定性意味着解决方案持续依赖于数据。特别是，对于离散 ODE，这意味着如果您对$y_n,$扰动传播到$y_{n+m}$是一致有界的$m.$

在你的情况下，我们有

$$|\tilde{y}_{n+1}-y_{n+1}|\leq |e^{-Ah}|\cdot|\tilde{y}_n-y_n| + (h + \frac{1}{2}|A|h^2 + ..)|\mathcal{N}(t_n,\tilde{y}_n)-\mathcal{N}(t_n,{y}_n)|.$$ 假设$\mathcal{N}$是 Lipschitz 的第二个论点，你将需要类似的东西 $$|e^{-Ah}| + Ch = 1 + \mathcal{O}(h)$$ 渐近稳定（稳定为$h\rightarrow 0$) 或者如果你想要绝对稳定 $$|e^{-Ah}| + Ch<1,$$ 在哪里$C$依赖于取决于$|A|.$

指数时间积分器对于具有常系数的常微分方程的线性系统是精确的，因此是平凡的 A 稳定的。

参见 [1] 和其中的大量参考资料。

对于一般的 ODE 系统，基本思想是以指数积分器的最大稳定时间步长显着大于相应显式离散化的方式拆分各项，从而减少求解方程所需的计算机时间.

为了在不牺牲准确性的情况下实现这一目标，必须解决三个问题：

1. 最快的解决方案组件所需的所有项都应在线性部分中处理$A$,
2. 这些快速组件中的能量应该是微不足道的，并且
3. 得到的矩阵指数应该相对容易求解。

第 1 点和第 3 点应该是显而易见的。第 2 点并不总是明确说明，但有必要：与隐式方法相反，其中最快的波被减慢，在指数部分处理的解模态不会因时间离散化而失真，因此只有满足以下条件才能获得准确的解在这些模式下几乎没有能量。最慢的模式通常在$N$

[1] Tokman, M. 2006. 大型 ODE 刚性系统与指数传播迭代 (EPI) 方法的有效集成。J.计算机。物理。213、748–776。