计算科学 - 基于Crank-Nicolson方法的有限差分非线性扩散方程的数值解 - 吾爱随笔录

基于Crank-Nicolson方法的有限差分非线性扩散方程的数值解

计算科学有限差分抛物线pde 非线性方程扩散

2021-12-06 04:21:37

我想数值求解非线性扩散方程：

\frac{\partial}{\partial t} T (x, t) = \frac{\partial}{\partial x} (T^{5 / 2} \frac{\partial T}{\partial x})

$\frac{\partial}{\partial t} T(x,t)= \frac{\partial}{\partial x}\left(T^{5/2} \frac{\partial T}{\partial x} \right)$

我想使用有限差分方法通过 Crank-Nicolson 方法来解决它。但是我不明白在应用数值方法时如何处理非线性系数。

1个回答

该方程的 Crank-Nicolson 离散化将显示为

\frac{T^{n} - T^{n - 1}}{Δ t} = \frac{1}{2} [\partial_{x} ((T^{n})^{5 / 2} \partial_{x} T^{n}) + \partial_{x} ((T^{n - 1})^{5 / 2} \partial_{x} T^{n - 1})]

$\frac{T^n-T^{n-1}}{\Delta t} = \frac 12 \left[ \partial_x \left((T^n)^{5/2} \partial_x T^n\right) + \partial_x \left((T^{n-1})^{5/2} \partial_x T^{n-1}\right) \right]$ 这是一个非线性的、与时间无关的椭圆偏微分方程

T^{n}

$T^n$ . deal.II 教程的第 15 步总结了求解此类方程的方法，请参见http://www.dealii.org/developer/doxygen/deal.II/step_15.html。

（免责声明：我是 deal.II 的作者之一，我监督了编写第 15 步的学生。）

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