计算科学 - 在 GMRES 和 schur 补码解决方案之间做出决定时，哪些因素是相关的？ - 吾爱随笔录

假设我有一个线性系统

[\begin{array}{cc} M_{1} & S \\ S^{T} & M_{2} \end{array}] [\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}] = [\begin{matrix} F \\ G \end{matrix}],

$\left\lbrack \begin{array}{cc} M_1& S\\ S^{\mathrm{T}}& M_2 \end{array} \right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{c} X\\ Y\end{array} \right\rbrack= \left\lbrack \begin{array}{c} F\\G\end{array}\right\rbrack,$ 在哪里

M_{1} \in R^{n \times n}

$M_1\in \mathrm{R}^{n\times n}$ 是对称正定的，

M_{2} \in R^{m \times m}

$M_2\in \mathrm{R}^{m\times m}$ 是对称半正定的。

S

$S$ 是一个大小兼容的满秩矩阵。

X, Y, F, G

$X,Y,F,G$ 都是大小合适的向量。

在决定在大系统上使用 GMRES 和使用 Schurr 补码技术之间有哪些相关因素？

我猜想相关的因素是有多贵 $M_1$ 是反转，条件数 $S$ ，以及是否 $M_2$ 是零矩阵。

任何与文献的链接都值得赞赏。

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我问这个问题是因为我需要解决以下系统。

[\begin{array}{cccc} M_{1} & S & 0 & Γ^{T} \\ - S^{T} & 0 & Ξ^{T} & 0 \\ 0 & Ξ & 0 & 0 \\ Γ & 0 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \\ f_{4} \end{matrix}]

$\left\lbrack \begin{array}{cccc} M_1& S &0 &\Gamma^{\mathrm{T}} \\ -S^{\mathrm{T}}& 0 &\Xi^{\mathrm{T}}& 0\\ 0 & \Xi & 0 &0 \\ \Gamma&0&0&0 \end{array} \right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{array} \right\rbrack= \left\lbrack \begin{array}{c} f_1\\f_2\\f_3\\f_4 \end{array} \right\rbrack$

现在，我使用 Schurr 补码方法解决了这个系统，但它需要三个迭代的 CG 解决方案。我想知道“蛮力”并使用GMRES是否会更好。