计算逆 CDF 的最有效和数值稳定的算法是什么$F^{-1}(y)$的概率函数，假设 PDF$f(x)$和 CDF$F(x)$是已知的，但逆 CDF 不是？

显然，这与寻找非线性函数的根相同$G(x) \equiv F(x) - y$， 和$x \in \mathbb{R}$对于给定的$y \in (0, 1)$. 我们知道/假设$G(x)$是：

• 单调不减（即$F(x)$CDF);
• 至少可微分$k \ge 1$次（它的一阶导数是$G^\prime(x) = f(x)$);
• 连续的（我们假设$f(x)$不是增量函数）。
• 我对 PDF 的形状是高斯分布乘以任意次数多项式的通用混合（在这种情况下，可以解析计算 CDF）的情况特别感兴趣。

有几种标准方法可用于一般非线性函数的求根（例如参见数值配方的第 9 章）。我将使用的方法是 Brent 的方法，最后可能需要几个Newton-Raphson步骤来细化根（如果有的话）；但我想知道根据上述假设是否有更好的方法。

另外，请注意，我需要计算大量的逆 CDF（$\sim 10^5$) 此类中不同的 CDF；查找表或预计算是不可行的。