我正在寻求帮助以了解如何使用离散傅里叶变换作为连续傅里叶变换的近似值。

作为练习，我考虑了一个高斯其（连续）傅里叶变换为 我在 0 到 100 之间等距分布的 10,000 个离散点处对高斯进行采样，并对结果数字集进行离散傅里叶变换。我想问的问题是离散傅里叶变换与连续傅里叶变换相比有多好。该计算的结果如下图所示（粗曲线是解析的、连续的结果；细的曲线是数值的、离散的结果）：

$$f(x) = \exp\left(-2x^2\right),$$ $$F(k)=\frac{1}{2}\exp\left(\frac{-k^2}{8}\right).$$

显然，离散变换和傅里叶变换彼此完全不同，尤其是在较小的情况下。有人可以帮助理解为什么吗？$k$

谢谢！

更新：有人指出，在上面的图中，我并没有真正将苹果与苹果进行比较。我对连续和离散情况假设了不同的比例。我纠正了这一点，但问题不会消失。这是上面高斯计算的更新版本：

为了检查带宽受限函数，我还尝试使用 sinc 函数：我有同样的问题：

$$f(x) = \frac{\sin(x)}{x}.$$

在这两种情况下，我似乎得到了完全相同的差异因子，这表明我错过了一些比例因子。但我就是找不到！

谢谢！