设 MC 积分估计为

$$S_n = \frac{b-a}{n}\sum_{1\leq k\leq n} f(x_k),$$ 在哪里$x_k$是否在间隔内$[a,b]$. 只要功能$f$是$L^1$，均值存在，并且 $$\mathbb{E}[S_n] = I, \qquad I = \int_a^b f(x)\,dx,$$ 所以根据大数定律$S_n$会收敛到$I$.

要获得$1/\sqrt{n}$收敛，函数也需要平方可积：

$$\mathbb{V}[S_n] = \frac{|b-a|}{n}\int_a^b \big(f(x)-\bar f\big)^2\,dx,$$ （在哪里$\bar f$是函数平均值$[a,b]$）， 因此，如果$f$也是$L^2$，则中心极限定理适用，并且$S_n$将呈正态分布，均值$I$和方差$n^{-1}|b-a|\mathbb{V}[f]$. 当函数不是平方可积时，大数定律仍然适用，但这种误差分布不再有效，它会有一个肥尾。

最后，不可微函数对于数值积分来说并没有那么糟糕，只要奇点易于定位，并且算法执行某种自适应区间二等分过程来隔离奇点。或者，一个常见的技巧是手动拆分区间，以便所有奇点都位于子区间端点，并在各个子区间上调用正交方案。我相信大多数成熟的正交库都可以很好地处理合理的奇点。特别是，最好的求积方案之一，双指数规则，对于区间端点处的规则奇点完全没有问题。其他规则，如 Gauss-Legendre 规则，通常会修改形式以解决奇点问题。

你不说你的功能是什么$f$是，但我认为它必须是非常病态的（例如，在任何地方都不可微分），然后 MC 方法才能在 1d 中胜过成熟的正交方案。不过，这不是中点——你永远不会期望它会很好地工作。