假设我知道特征对对于矩阵运算符那
现在我有点忐忑 被扰动相对于小（在某种意义上，例如 Frobenius norm ？）。现在我想找到扰动的特征对.
我希望应该存在一些使用解决方案知识的有效迭代算法获得解决方案以适度的计算工作量（以 CPU 触发器衡量），特别是如果我使用稀疏矩阵。
戴维森方法是我搜索的吗？或者，一般来说，我可以使用未扰动哈密顿量的已知解来为Arnoldi / Lancozs迭代构建一些预条件子和初始向量。
背景：
我不是线性代数专家，也不是迭代方法。我只是想通过谷歌搜索来熟悉这个领域。我下载了一些关于 Davidson / Arnoldi / Lanczos 方法的论文，但乍一看，如果它与我的问题相关，即使是非常基本的问题，我也无法提取明确的答案。
我还阅读了 wikipage Eigenvalue perturbation，但它与显式数值算法及其计算成本无关。
主要是我感兴趣的情况下和是厄米特（某些量子系统的基态哈密顿量），但为了更一般的理解，我不想限制这种情况的问题。
寻找线性算子的特定特征值的最佳策略之一是移位和反转 Lanczos；如果您正在寻找矩阵的特征值接近价值，然后在算子上运行 Lanczos 算法. 该算子的频谱将比，并且由于 Lanczos 算法非常擅长寻找极端特征值，它会挑选出接近于快多了。当然，然后必须解决线性系统, 这可能很昂贵。
在您的情况下，您知道的特征值分解，因此您可以轻松求解线性系统. 对于给定的， 解决方案应该相当接近系统的解决方案对于扰动的哈密顿量，假设不是太大。因此，您可以通过使用来利用您对未受干扰问题的解决方案作为前置条件在 Krylov 子空间方法（例如 MINRES）中，而不是通用且可能更昂贵的方法，例如-分解。
作为一种直截了当的方法，您可以采取成为特征值的; 更好的是，您可以使用量子力学中通常的微扰理论估计.
如果您正在寻找基态或前几个激发态，此策略通常最有效。我自己没有尝试过戴维森方法，所以我不知道如何应用与移位和反转 Lanczos 相同的推理。这在Yousef Saad的《大特征值问题的数值方法》一书中进行了讨论，这本书（在我看来）是关于这个主题的最佳资源。Saad 在寻找内部特征值方面也做了大量工作，这是一个相当困难的问题。