计算科学 - 可变粘度斯托克斯方程 - 吾爱随笔录

求解具有周期性边界条件的斯托克斯方程的一种非常有效的方法

- η \nabla^{2} v + \nabla p = f \nabla \cdot v = 0

$\begin{equation} -\eta \nabla^{2} \bf{v} + \nabla p = f \\ \nabla \cdot \bf{v} = 0 \end{equation}$

正在使用横向投影算子（在傅立叶空间中）

\tilde{v} = \frac{1}{η k^{2}} (I - \frac{k k}{{| k |}^{2}}) \cdot \tilde{f}

$\begin{equation} \tilde{\bf{v}} = \frac{1}{\eta \bf{k}^2} \left (\bf{I} - \frac{k k}{\left | k \right |^2} \right ) \cdot \tilde{\bf{f}} \end{equation}$

我相信用于求解 Navier-Stokes 方程的分数步（即分裂或投影算子）技术背后也有类似的原理（例如 doi：10.1016/0021-9991(89)90151-4）。

当粘度不是空间的常数函数时，我们可以使用类似的技巧来帮助我们吗？换句话说，如果我们的斯托克斯方程看起来像这样，

- \nabla \cdot (η (r) \nabla v) + \nabla p = f \nabla \cdot v = 0

$\begin{equation} - \nabla \cdot \left (\eta(\bf{r}) \nabla \bf{v} \right ) + \nabla p = \bf{f} \\ \nabla \cdot \bf{v} = 0 \end{equation}$

是否有一种有效的（非迭代）方法来求解这样的方程组？