计算科学 - 对流-扩散方程的有限差分格式 - 吾爱随笔录

我正在使用对流（/对流）-扩散（-反应）方程来计算不同液压部件（如管道或热交换器）中随时间变化的温度。
流动/对流始终是 1D的，而扩散（在这种情况下为热传导）可以是 1D、2D 或 3D。
为了简单起见，让我们考虑一个完全一维的例子：其中是热导率，是比热容，是密度和速度。

\frac{δ T}{δ t} = \frac{λ}{c_{p} ρ} \frac{δ^{2} T}{δ x^{2}} + v \frac{δ T}{δ x}

$\frac{\delta T}{\delta t} = \frac{\lambda}{c_p \rho}\frac{\delta^2 T}{\delta x^2} + v\frac{\delta T}{\delta x}$

α = \frac{λ}{c_{p} ρ}

$\alpha = \frac{\lambda}{c_p \rho}$

λ

$\lambda$

c_{p}

$c_p$

ρ

$\rho$

v

$v$

为了离散这个方程，我使用前向时间中心空间方案进行扩散（二阶中心）和前向时间前向空间方案用于对流（一阶迎风），如下所示：中的符号取决于_

\frac{T^{n + 1} - T^{n}}{Δ t} \approx α \frac{T_{i - 1}^{n} - 2 T_{i}^{n} + T_{i + 1}^{n}}{Δ x^{2}} + v \frac{T_{i \pm 1}^{n} - T_{i}^{n}}{Δ x}

$\frac{T^{n+1} - T^n}{\Delta t} \approx \alpha \frac{T^n_{i-1} - 2T^n_{i} + T^n_{i+1}}{\Delta x^2} + v \frac{T^n_{i\pm1} - T^n_{i}}{\Delta x}$

\pm

$\pm$

T_{i \pm 1}^{n}

$T^n_{i\pm1}$

v

$v$

现在有两种常见的情况：

在大多数情况下，时间步长相对较小是可以的，因为像 PID 控制器这样的时间连续系统会在每一步之间与模拟结果交互。例如，这些控制质量流量、内部热量增益等。因此，我一直在使用具有自适应步长控制的嵌入式 Heun 和/或 RK 方法来获得明确的时间结果。

由此产生了多个问题：

使用这种混合离散化可以吗？
使用中心差分方案吗？ $|Pe| < 2$
我可以为对流项实施 QUICK 方案以减少数字错误吗？
如此表中所示，为这些导数阶数实施更高精度的方案有用吗？
当混合类型的“部分”或网格间距大小（以及由此产生的每个节点周围的单元格的质量/体积）差异很大的部分时，这将导致具有最小单元格的部分永远不会（或真的缓慢）达到流入的一维质量流的温度（忽略传导引起的电池热损失）。这称为数值扩散还是耗散？我可以通过使用其他差分方案（如 QUICK）来减少这种情况吗？
我想用隐式方案解决一些部分，首选 Crank-Nicholson。对流和扩散是 Crank-Nicholson 空间离散中心方案，还是我可以使用中心方案进行扩散和迎风/QUICK 进行对流？

编辑：我可以提供任何其他信息来更容易回答这个问题吗？