计算科学 - 线性求解器的复杂微分 - 吾爱随笔录

我有一个线性系统

A x = b

$Ax=b$ 我正在近似地解决这个问题，我需要取 x 对 z 的 frechet 导数。我是否准确地解决了问题（无论是分析还是机器 0）我只想说

\frac{d x}{d z} \vec{v} = \frac{d A^{- 1} b}{d z} \vec{v} = (\frac{d A}{d z} A^{- 1} \frac{d A}{d z} b + A^{- 1} \frac{d b}{d z}) \vec{v}

$\frac{dx}{dz}\vec{v} = \frac{d A^{-1}b}{dz}\vec{v} = \left(\frac{dA}{dz}A^{-1}\frac{dA}{dz}b + A^{-1}\frac{db}{dz}\right)\vec{v}$ 由于我没有精确地求解系统（说是 2 个精度），我认为获得灵敏度的最佳方法是对线性系统进行复杂的扰动。即，求解线性系统，但它在哪里：然后我可以取 x 的虚部。这会按我想要的方式工作吗？那么如果我想要线性求解的伴随微分，我会给矩阵一个复杂的扰动并转置它吗？

A (z + i ϵ v) x = b (z + i ϵ \vec{v})

$A(z+i\epsilon {v})x = b(z+i\epsilon\vec{v})$

这与我之前发布的问题有关：近似矩阵逆的导数