我正在尝试使用自适应网格细化来求解一维无粘性 Burger 方程。这是 PDE：

$$\frac{\delta U}{\delta t} + \frac{\delta F}{\delta x} = 0$$ 其中变量 U 的通量 F 定义为 $$F= \frac{U^2}{2}$$

为了求解这个方程，我在点 i 周围定义了一个控制体积，那么我应该将原始方程写为：

$$\frac{U_i^{n+1} - U_i^{n}}{\Delta t} + \frac{ F_{i+0.5}^{n} - F_{i-0.5}^{n}}{\Delta x} = 0$$ 我将这些通量定义为（参考：http ://www.astro.uu.se/~bf/course/numhd_course_20100124.pdf ）：

该方案适用于任何特定的网格。现在，当我使用 Berger 和 Collela ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021999189900351 ) 提出的自适应网格细化方案时。我对如何计算粗细网格界面处的通量感到困惑，如下图所示：（细化因子为 4，星号是细网格点。

在集成精细网格期间，我需要获取这些通量，因为这些通量用于校正粗网格点值以确保网格层次结构中的守恒。在这种情况下，我需要使用与细网格相关的这些通量来校正i-1和i+1的值。由于它们是细网格的边界通量，而且边界值随着每个细网格时间步长而变化（与粗网格不同，因为粗网格边界值是分配给 PDE 的边界条件），我不知道如何评估他们。在每个精细的网格时间步之后，我知道所有四个点的u值。