计算科学 - 求解混合型非线性偏微分方程的数值方法 - 吾爱随笔录

有哪些类型的数值方法可以求解以下 PDE：

\begin{aligned} f (x, t, u (x, t)) u_{x x} - g (x, t, u (x, t)) u_{t t} = F (x, t, u (x, t)) \\ u (x, 0) = G_{1} (x) \\ \frac{\partial u (x, 0)}{\partial t} = H_{1} (x) \\ u (0, t) = G_{2} (t), \frac{\partial u (0, t)}{\partial x} = H_{2} (t) \end{aligned}

$\begin{align} &f(x,t,u(x,t))u_{xx} - g(x,t,u(x,t))u_{tt} = F(x,t,u(x,t))\\ &u(x,0)=G_1(x)\\ &\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=H_1(x)\\ &u(0,t)=G_2(t) , \frac{\partial u(0,t)}{\partial x} = H_2(t) \end{align}$ 在哪里

f, g, F, u \in C^{\infty} (x, t), G_{i}, H_{i} \in C^{\infty}

$f,\ g,\ F,\ u \in C^\infty(x,t),\ G_i,\ H_i \in C^\infty$ .

具体来说，我想到了 PDE：

u_{x x} u^{3} - \sin (x t) u_{t t} = u

$u_{xx}u^3-\sin(xt)u_{tt} = u$

但一般PDE如上；我查看了 Polyanin 的第二版 Handbook of Nonlinear PDE 目录，并没有发现类似的内容，显然我查看的是数值解，因为解析解似乎不合理，但如果有的话我不介意。:-)

我还在MathOverflow中发布了这个问题，其中一个答案指出我的问题可能不是很好。