计算科学 - 球坐标中的数值梯度 - 吾爱随笔录

假设我们有一个函数 $u$ 以离散方式定义在一个球中：我们只知道 $u$ 在节点 $(i,j,k)$ 球面网格，其中 $i$ 是半径坐标， $j$ 是角度的坐标 $\varphi$ , $k$ 是角度的坐标 $\psi$ .

考虑一个向量函数

\nabla u_{i, j, k} = ({\frac{\partial u}{\partial r}}_{i, j, k}, \frac{1}{r_{i} \sin ψ_{k}} {\frac{\partial u}{\partial φ}}_{i, j, k}, \frac{1}{r_{i}} {\frac{\partial u}{\partial ψ}}_{i, j, k}) -

$\nabla u_{i,j,k}=\left(\frac{\partial u}{\partial r}_{i,j,k},\frac{1}{r_i\sin\psi_k}\frac{\partial u}{\partial \varphi}_{i,j,k},\frac{1}{r_i}\frac{\partial u}{\partial \psi}_{i,j,k}\right)-$ 梯度

u

$u$ .

我需要知道 $\nabla u_{i,j,k}$ 在笛卡尔坐标的 z 轴上，对应于 $\psi=0$ -- 球坐标中的轴，但我们不能使用上面的公式，因为万一 $\psi=0$ 第二项变成无穷大。

实际上，我们可以找到 $\frac{\partial u}{\partial z}$ 借助数值导数公式，但我们在寻找时遇到了问题 $\frac{\partial u}{\partial x}$ , $\frac{\partial u}{\partial y}$ ，因为网格不是矩形的。你能帮我解决这些问题并告诉我该怎么做吗？