计算科学 - 磁通限制器的二阶 TVD 标准 - 吾爱随笔录

考虑一个非线性双曲守恒方程：

\partial_{t} u = - \partial_{x} f (u)

$\partial_{t}u = -\partial_{x}f(u)$ 的空间导数

f (u)

$f(u)$ 可以在空间离散化后近似为

x_{j} = j Δ x

$x_{j}=j\Delta x$

\partial_{x} f (u_{j}) \approx \frac{1}{Δ x} (F_{j + \frac{1}{2}} - F_{j - \frac{1}{2}})

$\partial_{x}f(u_{j}) \approx \frac{1}{\Delta x}\left(F_{j+\frac{1}{2}}-F_{j-\frac{1}{2}}\right)$ 在哪里

F

$F$ 表示一个数值通量函数，它可能依赖于相邻点并且从一个单元到下一个单元保持相同的形式. 为了避免吉布斯现象，想法是结合低阶通量和高阶（第二或更大）通量并将它们与限制函数结合

ϕ

$\phi$

F = F_{L} - ϕ (r) (F_{H} - F_{L})

$F = F_{L} - \phi(r)(F_{H}-F_{L})$ 在哪里

r_{i} = \frac{u_{i + 1} - u_{i}}{u_{i} - u_{i - 1}}

$r_{i} = \frac{u_{i+1}-u_{i}}{u_{i}-u_{i-1}}$ 目标是通过保持解的总变化 (TV) 不增加来保持单调性。我了解 TVD 条件的应用如何导致限制器上的条件：

{\begin{cases} 0 \leq ϕ (r_{i}) \leq 2 r & r < 1 \\ 0 \leq ϕ (r_{i}) \leq 2 & 1 \leq r \end{cases}

$\begin{cases} 0 \leq \phi(r_{i}) \leq 2r & r<1 \\ 0 \leq \phi(r_{i}) \leq 2 & 1 \leq r \end{cases}$

但我完全不了解保持方案二阶和 TVD 所需的所有条件。有人可以告诉我该区域（见图）是如何得出的吗？