评估解方案准确性的常用方法是将数值解与解析已知的解进行比较。如果您无法找到此处所遇到的确切问题的解决方案（很可能，因为它是非线性的），您始终可以使用制造解决方案方法构建一个解决方案。这种方法有很多描述，这里有一个。

要检查数值扩散，您需要在空间变量中进行标准一致性分析，即将精确解插入数值方案中，展开形式的项$f(x_i+h)$成泰勒级数，并估计您在近似中截断的项。形式的条款$c_d \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}$并且不抵消，然后负责数值扩散。

这对于对流项的离散化是直截了当的，但我不确定这将为您的平方根示例提供什么。

数值离散更难分析。当您的离散化“支持”所谓的棋盘模式时，就会发生这种情况，即不需要的变量解耦，这些变量在数值解中作为振荡变得可见。

这两个问题在对流-扩散方程的有限差分或有限体积近似中的逆风离散化（导致数值扩散）和通过中心差异离散化（导致数值离散）都很好理解。也许，您可以将一些想法从那里转移到您的特定案例中。