我有一些大的（n~100）方阵，其中有两个有界度数的可变多项式（大约<20，但许多条目更小）和整数系数，我希望能够计算它们的行列式（确切地说，如两个具有整数系数的可变多项式）。
我应该使用什么方法？是否已经有有效的软件实施？
在较小的问题实例中，我一直在使用Mathematica' 的内置Det函数并希望获得最好的结果，但我怀疑它只是使用两个可变有理函数进行行减少，这很快就会变得低效。
我也尝试过（感谢 Emily！）替换整数值，使用行缩减和（更快）任意精度有理算术计算行列式，然后是牛顿插值。可悲的是，我的实现似乎比Mathematica.
在这一点上，我对“正确的猜测”感到满意，如果我检查一些新值并始终得到正确的答案，我会很满意——如果证明答案确实正确的速度要慢得多，那没关系。
最后，如果这暗示了一个好技巧，我的问题实例的答案似乎有一些结构：决定因素，总度数的很大一部分来自几个低度多项式的高幂，然后是少数没有多重性的大因素。我什至可以预测一些小因素和（大约）它们的多样性。
行列式的无除法算法是 Samuelson-Berkowitz 算法（参见德语维基百科）和 Leverrier-Faddeev 算法（参见德语维基百科）。后者需要除以整数。
Gauß 算法还有一个变体，即 Gauß-Bareiss 算法，它对分子进行记账，即，将其保持在因式分解并尽可能减少分数。Wikipedia 仅给出整数矩阵作为示例，但该方法通常适用于整数（欧几里得？）环，因此涵盖了整数上的多项式环。
开始计算大小为 100 的矩阵的行列式是一个代价高昂的问题，即使只有数字也是如此。我会说它仍然在可行的范围内，但它绝对处于可以方便地以稳定方式完成的极限。
如果您想对多项式使用符号计算，则成本会更高。当然，问题是即使你设法做到了，会发生什么：你会得到一个约 2,000 次的多项式，除非它具有非常特殊的结构，否则你会发现它不可能稳定地求值。
我的建议不是想知道它是如何完成的，而是你是否真的需要这样做，以及你想对结果做什么。正如我所说，无论你得到什么都将是相当不可靠的，你应该尝试为你想做的任何事情想出一种方法，根本不涉及计算这些矩阵的行列式。
我真的想出了一个好办法！
计算通过评估其中一个变量获得的行列式（称之为) 在少数大素数处. 这些是另一个变量中的有理函数（称之为）。为简单起见，假设它们实际上是不可约多项式（但对于一般情况，这个方案有一个简单的变化）。
现在，常数项满足，并且使用中国剩余定理，我们可以将中的多项式，每个项都有一个歧义的系数。暂时忽略这种歧义，减去，除以，然后继续直到完成。
在这一点上，我们猜测行列式是一个二变量多项式。使用Schwartz-Zippel 引理，它只需要在两个变量的有理值处评估行列式，就可以有效地获得错误答案概率的任意良好界限。