您首先必须确保您的系统是可解的：如果右侧发生这种情况$b$与内核正交$A$. 如果$A$有一个维度为 1 的内核跨越$v$，你需要有$v^* b=0$. 如果不是这样，那么回到建模阶段，问问自己你所做的是否有意义。

奇异系统的迭代方法的收敛通常是棘手的，但对于半正定矩阵和 CG 来说都很好：CG 将收敛到你的奇异系统而不需要任何修改。更准确地说，它将收敛到与核正交的唯一解（$v^Tx=0$)，这也是最小范数。

如需证明，请参阅https://arxiv.org/abs/1809.00793。直观地，发生的事情是，在适当的基础正交变化之后，您正在求解系统

$$\begin{bmatrix} A_{11} & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\0 \end{bmatrix},$$ 和$A_{11}$肯定的。在这种形式中，看到 CG 产生的所有迭代在它们的第二个块中都有一个零并不复杂：$(x_k)_2=0$, 对于每个$k$. 此外，迭代与通过将 CG 应用于（非奇异）线性系统得到的迭代一致$A_{11}x_1=b_1$.

在数值上，您可能需要重新正交化$x_k \leftarrow x_k - vv^Tx_k$每隔几步确保您的迭代与内核保持正交。