计算科学 - 对正半定矩阵施加特殊结构 - 吾爱随笔录

我正在尝试使用cvxpy. 但是我正在努力约束矩阵 $Z_j$ 如等式 (33-35) 中所述。引用论文（ $\bar{\mu_j}$ 只是一个向量）：

剩余约束 $R_j$ 是：

$Z_{j} = [\begin{matrix} 1 & (\bar{μ_{j}})^{^{'}} \\ \bar{μ_{j}} & U \end{matrix}]$ $Z_j= \left[ \begin{matrix} 1 && (\bar{\mu_j})^{'} \\ \bar{\mu_j} && U \end{matrix} \right]$

在哪里 $U$ 必须是 $\bar{\mu_j}(\bar{\mu_j})^{'}$ . 由于约束不是线性的，我们放宽它使得：

$U - \bar{μ_{j}} (\bar{μ_{j}})^{^{'}} ⪰ 0$ $U-\bar{\mu_j}(\bar{\mu_j})^{'}\succeq 0$

通过以下财产：

$Z_{j} ⪰ 0 \Leftrightarrow U - \bar{μ_{j}} (\bar{μ_{j}})^{^{'}} ⪰ 0$ $Z_j\succeq0 \Leftrightarrow U-\bar{\mu_j}(\bar{\mu_j})^{'}\succeq0$

在哪里 $Z_j \succeq 0$ 表示 $Z_j$ 是半正定矩阵。

我试图通过执行以下操作来强制这种结构：

u = cvx.Variable(D)
U = u*u.T
Zj = cvx.bmat([[1, u.T], [u, U]])

但是cvxpy抱怨这u*u.T是不正确的：

UserWarning: Forming a nonconvex expression (affine)*(affine).

求解器失败：

cvxpy.error.DCPError: Problem does not follow DCP rules

看来两个向量的外积不能这样实现。关于如何强制执行此约束的任何想法？

参考

Yun、Sungrack 和 Chang D. Yoo。“用于语音情感分类的损失尺度大边距高斯混合模型。” IEEE 音频、语音和语言处理汇刊 20.2 (2012): 585-59