许多资料提供了用于积分牛顿方程的 Euler、Verlet、速度 Verlet 和跳跃算法。根据准确度的顺序，一致认为速度 Verlet、Verlet 和 jumpfrog 优于 Euler 方法。还可以证明 Verlet 和速度方法在代数上是等价的。使用velocity Verlet 或leapfrog 积分器的优缺点是什么？一个比另一个更准确还是更昂贵？
速度 Verlet 和 jumpfrog 算法的比较
计算科学
颂
时间积分
2021-12-24 13:00:37
1个回答
最短的答案是 Verlet / Leapfrog 方法是辛的和时间可逆的，这些是反映某些模拟问题的物理现实的理想数值属性。
辛意味着当方法保证在保守模拟问题中保持总能量（更准确地说是哈密顿量）时。以模拟地球绕太阳旋转为例。如果没有能量的外部耗散，地球可以保证无限期地保持在轨道上。但是使用 Euler 或 RK4 进行模拟，例如，地球最终会离开轨道或撞向太阳，这是由于在长时间模拟中积累的总能量中的小数值漂移。Verlet / Leakfrog 等辛方法明确保留了总能量，因此数值解也可以保证使地球无限期地保持在轨道上。
时间可逆性意味着（固定步长）方法可以在时间上向前步，并达到用于开始模拟的相同初始条件。我们经常将时间可逆的数值方法应用于时间可逆的物理过程；然后我们期望数值解具有类似于精确解的长期行为。
但这两个属性是以牺牲准确性和稳定性为代价的。RK2 方法是一种可比较的二阶方法，其准确度明显更高，而 BDF2 是一种二阶方法，其稳定性明显更高。此外，这些方法是明确的（即有效的，因为它们可以在不求解非线性方程组的情况下计算）仅适用于某些物理过程。它们最一般的形式是隐含的。
参考：
- Hairer, Lubich, Wanner，“几何数值积分”，Springer 2006
编辑 v2： Leapfrog 和 Verlet 方法（理论上）是相同的。以下引用来自 Pg。Hairer Lubich Wanner的7。
这种基本方法，或下面给出的等效公式，在天文学中称为斯托默方法，在分子动力学中称为 Verlet 方法，在偏微分方程的上下文中称为跳蛙方法，在其他领域还有其他名称。