自从$\phi$是之间的标量$0$和$1$，最简单的求根方法是二分法。如果无法计算非线性函数的期望

$$f_\phi(\theta) = \left(\phi r_z +(1-\phi)(r_k+\theta)\right)^{1-\gamma}(r_k+\theta-r_z)$$ 按照$\phi$在分析上，您可以使用正交来近似。对于第一个变体，这相当于 $$E[f_\phi(\theta)] = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} f_\phi(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^N \frac{w_i}{\sqrt{\pi}} f_\phi(\sqrt2 \sigma t_i),$$ 在哪里$t_i$和$w_i$是Gauss-Hermite 正交节点和阶权重$N$. 如果$\theta$是对数正态分布的，那么$\theta=e^\beta$， 在哪里$\beta$是正态分布的，所以你可以替换$t_i$经过$s_i:=e^{t_i}$在上面得到对数正态变量的求积规则（具有相同的权重）。

这个过程在 Matlab 中很容易实现；您可以在此处或此处下载计算正交权重和节点的函数。