计算科学 - 奇异系统的零空间投影 - 吾爱随笔录 - 问答

奇异系统的零空间投影

计算科学线性代数

2021-12-10 13:31:22

让 $A$ 是一个一般的对称矩阵算子并且 $P$ 是唯一的正交投影到 $\operatorname{Range}(A) = \operatorname{Null}(A)^\perp$ .

分析，系统

A x = P b

$Ax = Pb$ 应该有任何向量的解决方案

b

$b$ . 如果我们进一步规定这个解决方案在于

Range (A)

$\operatorname{Range}(A)$ ，解应该是唯一的。（在正定情况下，这正是共轭梯度算法将在精确算术中找到的解。）

以上是使用 Neumann 或周期性边界条件求解 Poisson 方程时的常用策略；如果 $A$ 被认为是诺依曼或周期性拉普拉斯算子，那么

P = I - \frac{1}{N} (1_{N}) (1_{N})^{T},

$P = I - \frac{1}{N}(1_N)(1_N)^T,$ 在哪里

1_{N} = [1, \dots, 1]^{T}

$1_N = [1, \cdots, 1]^T$ ，我们可以解决

A x = P b

$Ax = Pb$ 使用共轭梯度法。

但是如果投影算子 $P$ 没有简单的解析表达式？可以从数值上计算出来吗 $A$ ? 在这种情况下，有没有办法解决这种类型的奇异问题 $A$ 是黑盒对称算子吗？

我意识到一种方法是求解正规方程 $A^2x = Ab$ ，它完全避免使用投影算子，但这也严重恶化了系统的条件，所以我很想知道是否有另一种方法。

2个回答

在没有任何进一步知识的情况下计算零空间通常是昂贵的。即使在右手边不一致的情况下，也有一些迭代方法可以收敛到最小范数解。 Choi、Paige 和 Saunders 的 MINRES-QLP是这种方法的一个很好的例子。对于非对称问题，请参阅Reichel 和 Ye 的无故障 GMRES。

在实践中，通常零空间的某些特征对于有效的预处理很重要。由于大多数实际问题都需要预处理，因此纯迭代方法的采用有限。请注意，在非常大的空空间的情况下，预处理器通常用于已删除空空间的辅助空间。有关更多详细信息，请参阅“辅助空间麦克斯韦”方法。

Jed 已经回答了您的问题，隐含地假设您的矩阵很大且稀疏。如果不是这种情况，您可以进行特征值分解并编写 $A=X\Lambda X^T$ 其中的列 $X$ 对应于特征向量和对角矩阵的条目 $\Lambda$ 是特征值。（请注意，这种分解不容易计算，如果 $A$ 很大，正如 Jed 提到的那样。）然后，零空间正好由与零（或非常小的）特征值对应的特征向量所跨越的那些向量组成，即，零空间上的投影可以写为

1_{N} = X \tilde{Λ} X^{T}

$1_N = X \tilde\Lambda X^T$ 在哪里

(\tilde{Λ})_{i i} = 0

$(\tilde\Lambda)_{ii} = 0$ 如果

| Λ_{i i} | \geq ε

$|\Lambda_{ii}|\ge \varepsilon$ 和

(\tilde{Λ})_{i i} = Λ_{i i}

$(\tilde\Lambda)_{ii} = \Lambda_{ii}$ 如果

| Λ_{i i} | < ε

$|\Lambda_{ii}|<\varepsilon$ .

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