计算科学 - 如何定义无量纲目标函数来确定曲线的峰值程度？ - 吾爱随笔录

如何定义无量纲目标函数来确定曲线的峰值程度？

计算科学优化统计数据傅里叶变换

2021-12-13 14:06:09

我附上了 2 个 FFT 光谱图。一种被认为是好的，一种被认为是坏的。

好的是根据频率间隔的紧密程度来分类的，坏的是根据多个频率的存在程度来分类的。

我正在尝试确定一个可以最大化或最小化的无量纲目标函数，以便倾向于哪个是更好的图（良好的 FFT）。一个对特定比例一致的函数是 Max。功率/标准偏差。但这不是一个无量纲的量。

我想确定一个无量纲的数量。

编辑：假设频谱类似于概率分布： $\frac{E}{\int_\Omega|f(\omega)|d\omega}$

其中 E 是最大值。PSD的幅度。

我正在研究传播的其他定义：

ω_{m a x} - ω_{m i n}

$\omega_{max} - \omega_{min}$

whpowell96提出的目标函数似乎不够普遍。我确定了价差的这 3 个属性：

给定相同形状的光谱，仅通过改变 fft 的样本数来改变，因此它对相同的光谱给出不同的峰度 $\omega_{max}-\omega_{min}$
对于具有较大高度和相同底的三角形光谱来说，它不是尺度不变的（您得到相同的目标函数，而峰值明显不同）。见下图
通过放大光谱（例如，两个维度都大两倍），我期望具有相同的目标函数，因为峰值没有改变。

我正在研究传播的其他定义，而不是。基本上，我将whpowell96的目标函数概括为： $\omega_{max} - \omega_{min}$

\frac{‖ f ‖_{L^{\infty}} ‖ f ‖_{L^{0}}}{‖ f ‖_{L^{1}}} = \frac{{m a x}_{ω \in Ω} f (ω) \cdot | Ω |}{\int_{Ω} | f (ω) | d ω} .

$\frac{\|f\|_{L^\infty}\|f\|_{L^0}}{\|f\|_{L^1}} = \frac{\mathrm{max}_{\omega\in\Omega} f(\omega)\cdot|\Omega|}{\int_\Omega|f(\omega)|d\omega}.$ 基本上将替换为统计离散度的度量，例如 (i) IQR (ii) 标准偏差，(iii) 平均绝对偏差。很容易证明 IQR 满足第 3 点但不满足第 2 点。我正在研究其他措施。

Ω

$\Omega$

1个回答

让成为你的功率谱。然后也许像我知道不是很好的符号，但我认为它对于呈现它很有用。这个量被常数函数最小化，取值为 $f(\omega)$

\frac{‖ f ‖_{L^{\infty}} ‖ f ‖_{L^{0}}}{‖ f ‖_{L^{1}}} = \frac{{m a x}_{ω \in Ω} f (ω) \cdot | ω_{m a x} - ω_{m i n} |}{\int_{Ω} | f (ω) | d ω} .

$\frac{\|f\|_{L^\infty}\|f\|_{L^0}}{\|f\|_{L^1}} = \frac{\mathrm{max}_{\omega\in\Omega} f(\omega)\cdot|\omega_{max}-\omega_{min}|}{\int_\Omega|f(\omega)|d\omega}.$

L^{0}

$L^0$

1

$1$ 那里。这可以解释为由频谱的支持乘以最大值形成的矩形面积与功率谱下的真实面积之间的比率，因此它将严重惩罚尖峰。根据需要，它也是无量纲的。唯一需要做一些工作的部分是离散分母，但由于我假设你有统一离散的频率，你可以使用类似

\int_{Ω} | f (ω) | d ω \approx Δ ω \sum_{i = 1}^{N} | f_{i} | .

$\int_\Omega|f(\omega)|d\omega\approx\Delta\omega\sum_{i=1}^N|f_i|.$

编辑：在我最初的答案中实际上是不正确的。这应该是对度量的估计，即非零的地方。这需要更多的工作来量化，并且可能需要某种容差来确定哪些值足够接近于零以被视为零。这应该可以解决问题 1，我相信您编辑中的问题 3。我不确定如何解决问题 2，但我的直觉表明，这些三角形示例接近该指标的最坏情况，因为对于这一系列函数，与 $|\omega_{max}-\omega_{min}|$ $\mathrm{supp}(f)$ $f$ $f$ $\|f\|_{L^1}$ $\|f\|_{L^{\infty}}$

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